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Thema: Mathematik - die verkannte Braut

  1. #1
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    Mathematik - die verkannte Braut

    Da sich immer wieder Diskussionen, Ansichten, Missverständnisse um das hässliche Entlein Mathematik - in Wirklichkeit die geilste Braut des Kosmos - ergeben, will ich - als erwiesener Schwachmathiker und totaler Matheignorant mit völlig überzogenen Ambitionen - hier zusammenfassen, was sich zum Thema so ansammelt und oft in anderen Ordnern am Rande gestreift, dort verwittert und vergammelt.

    Aktuell: Mathe als Scharlatanerie, Metaphysik, Pipi-Langstrumpfattitüde - mach mir die Welt, wie sie mir gefällt - usw.

    Also:

    Mathe ist keine Religion.
    Mathe ist keine Philosophie.
    Mathe ist keine Ideologie.
    Mathe ist keine Kunst.
    Mathe ist Hand- und Kopfwerk.

    Mathe ist der Versuch, aus einfachen, nicht weiter bezweifelbaren, hinterfragbaren Evidenzen - genannt Axiome - mit Hilfe der Logik weitere Erkenntnisse über Quantitäten, Relationen, Objekte, Körper, Figuren, Mengen etc. zu gewinnen.
    Dabei geht es um einfachste Erfahrungs- und Anschauungsphänomene wie die natürlichen Zahlen bis hin zu den unvorstellbarsten, nur wenigen Gehirnen zugänglichen Konstrukten. Voraussetzung: Logisch, widerspruchsfrei herleitbar aus den Axiomen.

    Ich bin kein Mathematiker, hab aber so viel verstanden, dass die Sätze, Erkenntnisse, Schlussfolgerungen, die die Mathematik hervorbringt, je weiter man vordringt, umso mehr, nahe legen, dass:

    die mathematischen Sätze die Grammatik des Kosmos bilden
    die mathematischen Sätze die Sprache der Physik und damit der wissenschaftlichen Weltbeschreibung sind.


    Fangen wir mal an mit der einfachsten Menge Zahlen, den natürlichen Zahlen, genannt Menge N.

    Die Axiome für die Menge N - benannt nach ihrem Autor Peano-Axiome - lauten:



    1. 0 ist eine natürliche Zahl.
    2. Jede natürliche Zahl n hat eine natürliche Zahl n' als Nachfolger.
    3. 0 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.
    4. Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.
    5. Enthält die Menge X die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n′, so bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von X



    Die Pos. 1 bis 4 sind glaub ich selbsterklärend und für jeden Volksschüler verständlich.
    Nr. 5 is vielleicht ein bissl akademisch formuliert, sagt aber nur aus, dass die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist. Was ja schon aus Nr. 2 folgt.

    Nr. 5 besagt lediglich, dass die Menge der natürlichen Zahlen abzählbar unendlich ist. Denn wenn alle natürlichen Zahlen eine Teilmenge von X sind, dann ist X unendlich. Weil alle natürlichen Zahlen - an sich unendlich viele, weil jede einen Nachfolger hat - wiederum nur eine Teilmenge von X sind.

    Ja, so sind sie halt die Mathematiker, penibel und kleinlich bis ins Allerkleinste!

    Damit haben wir die Menge der natürlichen, ganzen Zahlen von 0 bis unendlich erfasst!
    Welche andere Disziplin kann das bieten!

    Chapeau!
    Geändert von eulenspiegel (02.11.21 um 07:23 Uhr)

  2. #2
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    AW: Mathematik - die verkannte Braut

    Mir persönlich fehlt ein Axiom in der genannten Aufzählung, oder eine Ergänzung. Ich würde Pkt. 2 wie folgt ergänzen:

    2. Jede natürliche Zahl n hat eine natürliche Zahl n' = n+1 als Nachfolger.

    Denn die natürlichen Zahlen zeichnen sich dadurch aus, dass sie positive, ganze Zahlen sind, der Nachfolger jeder nat. Zahl n also immer um 1 größer sein muß. Halbe Werte, Dezimalstellen gibt es keine.

    Und da sind wir bei der Anschauung. Jeder weiß, wenn er einen Apfel hat und noch einen dazulegt, dann sind es 2. Nicht 1,5 und auch nicht 1,889. Die Äpfel dürfen natürlich nicht zerschnitten werden, dann wären wir schon bei den Bruchzahlen, der Menge der Rationalen Zahlen (von ratio = Verhältnis). Jede rationale Zahl ist durch das Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellbar. Dieses Verhältnis nennt man auch Bruch oder Bruchzahl. Auch die Menge der rationalen Zahlen ist unendlich.

    Bin aber schon wieder zwei Schritte zuviel voraus. Nach der Menge der Natürlichen Zahlen N, die allesamt positiv sind, steht die nächste Erweiterung an:

    Die Menge der Ganzen Zahlen Z. Diese ist eine Erweiterung der natürlichen Zahlen um die ganzen, negativen Zahlen. Quasi eine Spiegelung der natürlichen Zahlen durch Hinzufügung eines Minusvorzeichens. Jeder natürlichen, also ganzen positiven Zahl steht eine ganze negative Zahl gegenüber. Sind die nat. Zahlen alle ganz und positiv, sind die negativen Zahlen alle ganz und mit Minusvorzeichen versehen. Beide sind unendliche Mengen. Beide Mengen zusammen ergeben die Menge der Ganzen Zahlen Z.

    Beide Mengen N und Z sind abzählbar unendlich. Was das heisst? Ganz einfach: ich kann jeder Zahl aus der Menge Z eine natürliche Zahl zuordnen. Ad infinitum. Und es geht dabei keine Zahl aus der Menge Z verloren.

    Beispiel:


    Menge der ganzen Zahlen Z => Ordnungszahl (Abzählung)
    0 => 1
    1 => 2
    -1 => 3
    2 => 4
    -2 => 5
    3 => 6
    -3 => 7
    ......
    n => 2n
    -n => 2n+1
    n+1 => 2n+2
    -(n+1) => 2n+3
    .......



    Und da zeigt sich schon, die Forumssoftware taugt nicht zur Notation mathematischer Inhalte. Egal. Wir bleiben eh im elementaren Bereich. Und hauptsächlich in der Syntax der Alltagssprache.

    Die Abzählbarkeit unendlicher Menge wird bei den reellen und irrationalen Zahlen wieder eine Rolle spielen. Diese sind nämlich nicht abzählbar unendliche Mengen. Warum? Weil jede Zahl aus diesen Mengen keinen eindeutigen Nachfolger hat, sondern wieder unendlich viele. Also tut man sich mit dem Abzählen ein bissl schwer, es ist schlicht unmöglich.

  3. #3
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    AW: Mathematik - die verkannte Braut

    Der Chef des Ladens beklagt in einem Nebenzimmer die 'Mathematisierung' der Welt. Wie er das in einen Zusammenhang mit der geplanten Abschaffung des Reitbewerbs im olympischen Fünfkampf bringt, das bleibt sein Geheimnis. Das ist auch nicht das Thema. Ich möchte hier nochmal auf den von aerolith geäusserten Vorwurf, Mathematik sei Scharlatanerie, Pipi-Langstrumpfdenken, Metaphysik etc. eingehen.

    Wer generell die Mathematisierung der Welt beklagt, sollte sich im Klaren sein, dass ohne diese Mathematisierung manches nicht möglich wäre. Dieses Forum zum Beispiel, auch das Smartphone, ja nichtmal das antiquierte Festnetztelefon, kein Auto führe, nichtmal ein Fahrrad könnte man zum Laufen bringen. Ohne Mathematik läuft buchstäblich nichts. Auch die gedankenschweren Wälzer Kants und Hegels hätten nicht gedruckt werden können. Musik wäre unmöglich. Das Verständnis der Welt bliebe auf dem Niveau des Neandertalers. Nicht arglistige Wissenschafter 'mathematisieren' die Welt, sondern die Welt offenbart sich als ein weitestgehend auf mathematische Sätze, Formel, Zusammenhänge zurückführbarer Apparat. Nicht immer linear und proportional, sehr oft komplex, exponentiell, ja imaginär und irrational - ganz im Sinne der Mathematik, die alle diese Komplexitätsdimensionen umfassen sucht. Es ist aber nicht die Mathematik, die wir in die Welt hinentragen, die Mathematik schaut uns aus jedem Loch, Winkel und jedem kleinsten Partikelchen und Quant entgegen.

    Soviel mal dazu. Man muß die Mathe ja nicht lieben, nichtmal verstehen, aber man sollte sich kein falsches Bild davon machen.

  4. #4
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    AW: Mathematik - die verkannte Braut

    Also ich mach mal bissl weiter mit meinem Schnupperkurs für mathematisch Unbegabte und Uninteressierte.

    Welche Zahlen haben wir bis jetzt kennengelernt? Natürlich als erste die Natürlichen Zahlen (genannt N), das sind alle positiven, ganzen Zahlen von 1 bis unendlich ....
    Ja, unendlich, und wir erinnern uns, unendlich, weil zu jeder beliebig großen Zahl n immer noch eine n+1 existiert, und das ohne Ende ...... also unendlich ....

    Diese Menge der positiven, ganzen Zahlen, zu der definitionsgemäß auch die 0 zählt, haben wir erweitert um die negativen, ganzen Zahlen. Das sind die gleichen wie die natürlichen, nur mit einem Minus davor, quasi eine komplette Spiegelung um die 'negative Achse'. Auch diese negativen, ganzen Zahlen sind unendlich viele, weil .... siehe oben.

    Die Menge der natürlichen und der negativen ganzen Zahlen ergeben die Menge der Ganzen Zahlen (bezeichnet als Z). Wir wissen, dass beide Mengen unendlich viele Elemente enthalten. Zusammen sind sie aber nicht doppelt unendlich oder doppelt so viele, denn Unendlich kann nicht verdoppelt werden. Sowohl N, als auch Z sind abzählbar unendlich und daher gleichmächtig wie die Mathematiker sagen.

    Jedes Kind, jeder Kaufmann, jeder Handwerker, also jeder einfache Mensch weiß, dass die ganzen Zahlen beileibe nicht alle Zahlen enthalten, mit denen selbst Lieschen Müller oder gar Germanisten täglich zu tun haben. Es gibt da noch die ebenfalls unendlich vielen Dezimalzahlen wie 1,123 oder 8,84 usw. Die Preise im Supermarkt, an der Tankstelle, die Lohnzettel und Steuerbescheide, praktisch alles, was uns an Zahlen im Alltag unterkommt sind nicht ganze Zahlen, sondern irgendwelche Dezimalzahlen. Woher kommen die aber alle?

    Praktisch alle Dezimalzahlen, die wir alltäglich benutzen, selbst die mit unendlich vielen Kommastellen wie etwa 0,33333...................333 (Nullkommadreiperiodisch oder ein Drittel) sind Brüche. Dezimalbrüche genaugenommen. Und was sind Dezimalbrüche? 12-er-Frage, Millionenfrage, Jackpot oder Joker? Nö, ganz einfach. Alle Dezimalbrüche sind Quotienten zweier ganzer Zahlen, also die Divison einer ganzen Zahl durch eine andere ganze Zahl. Und, erraten, auch deren sind unendlich viele. Noch viel mehr unendlich viele als die natürlichen oder ganzen Zahlen, aber immer noch abzählbar unendlich viele! Und, was heisst das? Yes, Sir! Alle Dezimalbrüche können abgezählt werden durch natürliche Zahlen. Also?

    Der bisher geneigte Follower weiß es: Die Mengen N, Z, und Q (so nennt man die Dezimalbrüche oder auch Rationale Zahlen von ratio=Verhältnis=Bruch=Quotient) sind gleichmächtig unendlich! Soll heissen, wenn es auch - in einem bestimmten Intervall, sagen wir von 1 bis 10 - ungleich viel mehr Dezimalbrüche als ganze Zahlen gibt, so sind die Mengen dennoch gleichmächtig unendlich, was nix anderes heisst, als dass jedem Element aus Q ein Element aus N zugeordnet werden kann. Ausnahmslos! (Für die Übereifrigen und Interessierten: Den Beweis lieferte ein gewisser Herr Cantor in seinem Ersten Diagonalargument, einfach Kugeln!).

    Also, jetzt haben wir praktisch alle Zahlen und Zahlenmengen kennengelernt, die der normale Mensch so braucht. Ganze Zahlen, positive und negative und Brüche, Dezimalbrüche genaugenommen. Und das ist doch eine ganze Menge.

    Bevor es dann wirklich unheimlich wird, wir das Reich der Irrationalen Zahlen betreten, mach ich mal eine kleine Pause.

  5. #5
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    AW: Mathematik - die verkannte Braut

    Die Menge der Irrationalen Zahlen. Puh, ich fürchte, ich stoße an meine Grenzen. Die bisherigen Zahlenmengen N, Z, Q sind einfach ganze positive und negative Zahlen, erweitert um die Rationalen Zahlen = Brüche zweier ganzer Zahlen. Diese unendlichen Mengen einfachster Zahlen müssen erweitert werden. Einfach deshalb, weil sie nicht die gesamte Wirklichkeit abbilden, wie etwa Wurzelzahlen, die nicht auf ganzzahlige Basen zurückzuführen sind. Die Quadratwurzel aus 2 etwa, ident mit der Diagonale im Quadrat.

    Irrationale Zahlen. Vorsicht, irrational heisst nicht unvernünftig, unlogisch, widersinnig! Irrational heisst nur: irrationale Zahlen lassen sich nicht als Brüche zweier ganzer Zahlen darstellen! Klar?

    Nochmal: alle rationalen Zahlen sind Quotienten/Brüche zweier ganzer Zahlen. Auch wenn sie unendlich viele Dezimalstellen haben wie ein Drittel, also 1/3 = 0,333333......

    Irrationale Zahlen sind UNENDLICHE DEZIMALZAHLEN, die nicht periodisch sind - also eine unendliche Folge von Zahlen hinter dem Komma aufweisen, die nicht periodisch, d. h. wiederholbar ist.

    Irrationale Zahlen sind Wurzeln aus ganzen Zahlen, die selber keine ganzen Zahlen sind, wie z. B. die Quadratwurzel aus 2.
    Irrationale Zahlen sind Zahlen, die nicht durch Brüche rationaler Zahlen darstellbar sind.
    Irrationale Zahlen sind nicht abzählbar unendlch!!!!!!!!!

    Die Menge der irrationalen Zahlen ist mächtiger als die Menge der natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen.

    Heisst: die Menge der Irrationalen Zahlen kann nicht abgezählt - geordnet, mit Ordnungszahlen versehen - werden.
    Heisst: zwischen zwei noch so nahe beeinander liegenden irrationalen Zahlen gibt es UNENDLICH viele weitere irrationale Zahlen.

    Bekannte irrationale Zahlen: Wurzel aus 2 (Diagonale im Quadrat), PI (Kreiszahl, Quotient aus Umfang und Durchmesser eines Kreises), e (Eulersche Zahl) und unendlich viele andere .....

    Und, irrationale Zahlen sind keine Erfindung hinterlistiger, verschlagener Mathematiker, sie sind untrennbares und konstituierendes Wesen unserer Welt! Ohne sie wüssten die Planeten nicht, wie sie um die Sonne kreisen sollten, hätten Quadrate keine Diagonale, könnten Saiten nicht schwingen und selbst Räder nicht rollen.

    Tja, das alles lehrt uns ein Blick in die Welt.

  6. #6
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    AW: Mathematik - die verkannte Braut

    Nach den Irrationalen jetzt die Imaginären oder Komplexen Zahlen! Tja, die Welt ist komplexer als man so gemeinhin denkt.

    Die bisherigen Zahlenmengen, natürliche, ganze, rationale und irrationale Zahlen, fasst man auch als Reelle Zahlen zusammen. Soll heissen, sie sind keine Elemente der Komplexen Zahlen. Und sind sowas wie real auffindbar, in der Alltagswelt aufgehoben, mit dem gesunden Hausverstand verträglich.

    Das ändert sich ein wenig mit den komplexen Zahlen. Die gehen darüber hinaus und führen die sog. imaginäre Einheit ein. Was das ist? Sehr einfach, es ist die Quadratwurzel aus -1. Selbst der mathematische Laie erkennt sofort, dass es das eigentlich nicht geben kann, eine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl. Denn eine Quadratwurzel ist eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert jene Zahl ergibt, die unter dem Wurzelzeichen steht. Weil jede beliebige positive oder negative Zahl mit sich selbst multipliziert immer positives Vorzeichen haben muß, kann eine Quadratzahl also gar nicht negativ werden. Und dennoch brauchen wir sie, die negativen Quadrate!

    Also: (Ich muss mich auf die wörtliche, buchstäbliche Darstellung beschränken, weil ein Wurzelzeichen nicht verfügbar).

    Die Quadratwurzel aus 4 ist 2 oder -2. Weil 2x2=4 und auch (-2)x(-2)=4.
    Die Quadratwurzel aus 9 ist 3, weil 3x3=9 und auch (-3)x(-3)=9.
    Die Quadratwurzel aus 2 ist 1,4...................... (wir wissen, eine irrationale, also unendlich lange, nichtperiodische Dezimahlzahl oder einfach die Diagonale im Quadrat).


    Und jetzt die Millionenfrage:

    Die Quadratwurzel aus -1 ist??????????????????
    Es gibt sie nicht. Weil keine Zahl existiert, die mit sich selbst multipliziert -1 ergibt. Gilt nicht nur für -1, sondern für alle negativen, reellen Zahlen!

    Dennoch brauchen wir sie. Als imaginäre Einheit i.
    i = Wurzel aus -1.

    Wie das? Man braucht sie, weil es ganz normale, reale, existierende Gleichungen gibt, die ohne i nicht lösbar wären.

    Z. B.: x.x +1 = 0 ==> x,x = -1 ==> x = Quadratwurzel aus -1.

    Die imaginäre Einheit war geboren. Historisch dauerte es bis zum Beginn der Neuzeit, dass man diese Zahl in die Mathematik einführte. Das lag daran, dass man bis dahin alle algebraischen Gleichungen mit Hilfe geometrischer Objekte löste, also nicht algebraisch (= mit Hilfe abstrakter Symbole), sondern anschaulich geometrisch. Die Einführung der Algebra führte zu einem Durchbruch und quasi der Geburt der reinen Mathematik. Ohne die imaginäre Einheit sind viele Exponentialgleichungen unlösbar.

    Eine komplexe Zahl besteht nun aus einem Realteil und einem Imaginärteil, geschrieben als a + b.i (i steht für die Wurzel aus -1).
    Diese Zahl lässt sich im carthesischen Koordinatensystem schön anschaulich darstellen, wobei die x-Achse den Realteil abbildet, die y-Achse den Imaginärteil. Eine komplexe Zahl der Form a+bi bildet einen Punkt auf der Fläche des Koordinatensystems.

    Viel mehr will und kann ich hier dazu nicht sagen, weil die Darstellungsmöglichkeiten fehlen. Nur soviel: die komplexen Zahlen sind nicht nur in der reinen, abstrakten Mathematik nütze, sie finden sich überall in der angewandten Mathematik, sie sind unverzichtbar in der Elektrotechnik und nicht zuletzt in der Quantenphysik. Die grundlegendste Gleichung der Quantenphysik, die Schrödingergleichung, enthält die imaginäre Einheit i.

    Ob das etwas über die Realität der Welt aussagt und wenn ja, was, darüber streiten Physiker, Philosophen und andre Köpfe. Ich weiß es nicht.

    Für hardcore-fans und afficionados hier ein link auf ein nettes Video über die Genese der komplexen Zahlen:
    https://www.youtube.com/watch?v=cUzklzVXJwo
    Geändert von eulenspiegel (11.11.21 um 20:10 Uhr)

  7. #7
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    AW: Mathematik - die verkannte Braut

    Ein Versuch, die Zahlenmengen noch ein bissl zu ordnen.

    Welche Zahlen kennen wir (bis jetzt)?

    Die Menge der natürlichen Zahlen N:
    Dabei handelt es sich um positive, ganze Zahlen inclusive der Zahl 0. (0 als Element von N ist ein Axiom).
    Die Menge N ist unendlich, weil jeder Zahl n eine Zahl n+1 folgt.
    Die Menge N ist abzählbar unendlich. Ich kann sie durchzählen - potentiell wenigstens, praktisch wird es schwierig, weil ich nicht ewig lebe.

    Die Menge der ganzen Zahlen Z:
    Zu der Menge N kommen die negativen, ganzen Zahlen dazu. Obwohl es sichtlich mehr ganze Zahlen als natürliche Zahlen gibt, sind beide von gleicher Mächtigkeit.
    Die Menge Z ist genauso abzählbar unendlich wie N.

    Die Menge der rationalen Zahlen Q:
    Das ist die Menge der ganzzahligen Brüche, also Zähler dividiert durch Nenner, wobei sowohl Zähler als auch Nenner ganze Zahlen, also Elemente von Z sind.
    Die Menge Q ist abzählbar unendlich wie N und Z, obwohl sie mehr Elemente besitzt als Z und N zusammen.

    Die Menge der irrationalen Zahlen, ihr Symbol ist R/Q:
    Die Menge der irrationalen Zahlen umfasst alle Zahlen, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können.
    Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist. Damit ist die Menge der reellen Zahlen R die Vereinigung der irrationalen und rationalen Zahlen.
    Die Menge der irrationalen Zahlen ist unendlich und zwar überabzählbar unendlich. Irrationale Zahlen können nicht durchgezählt werden.
    Bekannte irrationale Zahlen sind Pi, e und z. B. alle Quadratwurzeln aus nichtquadratischen ganzen Zahlen wie z. B. die Quadratwurzel aus 2.

    Da haben wir jetzt eine neue Zahlenmenge genannt, die Reellen Zahlen R.
    Das ist ganz einfach. Die Reellen Zahlen umfassen sowohl die rationalen als auch die irrationalen Zahlen. Wobei die rationalen Zahlen ja auch die ganzen Zahlen beinhalten, weil 1=1/1 usw.

    Die Menge der irrationalen Zahlen teilt man ein in:

    - algebraische Zahlen
    - transzendente Zahlen

    die Unterscheidung ist schwierig und im konkreten Einzelfall vielfach bis heute unklar, weil sie oft umfangreicher Beweise bedarf.

    Wie soll man erkären, was eine algebraische Zahl ist? Die Mathematiker sagen, dass jede algebraische Zahl die Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Ich erspare mir den Erklärungsversuch, das kann Wiki besser. Eine andere, vielleicht etwas verständlichere Definition einer algebraischen Zahl ist, dass jede algebraische Zahl nach einer endlichen Zahl von elementaren Rechenoperationen (4 Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) auf den Wert 0 kombiniert werden kann. Bei transzendenten Zahlen gelingt das nicht

    Beispiel: die Quadratwurzel aus 3 ist eine irrationale Zahl. Ich kann sie ganz einfach zu Null kombinieren indem ich

    - die Quadratwurzel aus 3 mit sich selbst multipliziere, ergibt 3.
    - Jetzt subtrahiere ich davon 3 und erhalte 0. (3-3 = 0).

    Bei transzendenten Zahlen geht das nicht. Bekannte transzendente Zahlen (sie transzendieren die 'einfache' Darstellbarkeit oder 'Herstellbarkeit') sind die schon genannten Pi und e, nicht aber die ebenfalls genannten Quadratwurzeln von nichtquadratischen ganzen Zahlen wie 2, 3, 5, 6, 7, ......


    Jetzt haben wir also die Menge der Reellen Zahlen komplett. Sie besteht aus der Vereinigungsmenge aus Rationalen Zahlen und Irrationalen Zahlen.

    Fehlt noch die Menge der Komplexen Zahlen C. Das sind die mit Realteil (= reelle Zahl) und Imaginärteil (= reelle Zahl mal imaginäre Einheit). Wobei die imaginäre Einheit die Wurzel aus -1 darstellt.

    Das wären alle Zahlen, die noch halbwegs einfach darstellbar und verständlich sind. Über darüberhinaus gehende Zahlen kann ich nix sagen, weil ich davon nichts verstehe. Es gibt sie aber.

  8. #8
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    AW: Mathematik - die verkannte Braut

    Mal was Nettes mit den Atomen der ganzen Zahlen, den Primeln.

    Da stolperte ich zufällig über die Beziehung, dass die Quadrate aller Primzahlen >3 immer Vielfache von 24 plus 1 sind. In mathematischer Form:

    pexp2 = 24.n +1 wobei p jede Primzahl >3 und n eine ganze Zahl (für n Teilmenge der Natürl. Zahlen)

    Das verblüffte mich zunächst, sagt es doch nichts anderes als dass für alle Primzahlquadrate (ausser jene für p gleich 2 und 3) gilt, dass sie um 1 vermindert immer durch 24 teilbar sind. Was ja auf eine Gesetzmäßigkeit bei der Bildung von Primzahlen schließen ließe. Dem ist aber nicht so. Der Beweis beweist das auch. Die n, also die Zahlen mit denen 24 multiplizert werden muß (und dann noch 1 dazugezählt), zeigen auf den ersten Blick keine Regelmäßigkeit, sodaß es wieder mal nix ist mit einer Regelmäßigkeit im Auftreten von Primzahlen.



    p .........pexp 2 ......... n

    5 ......... 25 ............... 1
    7 ......... 49 ............... 2
    11 ...... 121................ 5
    13 ...... 169 ............... 7
    17 ...... 289 .............. 12
    19 ...... 361 .............. 15
    23 ...... 529 .............. 22
    29 ...... 840 .............. 35
    31 ...... 960 .............. 40


    Der Beweis ist trivial, doch mir jetzt zu umständlich, um ihn zu führen, zumal die Forum-SW keine math. Notation zulässt.

  9. #9
    rodbertus
    Status: ungeklärt

    Arrow AW: Mathematik - die verkannte Braut

    Das Forum läßt aber html oder php zu, auch word u.ä. läßt sich implementieren...

  10. #10
    Mitgestalter
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    AW: Mathematik - die verkannte Braut

    Also in Kürze hier der 'Beweis' - ganz unmathematisch und in einfachen Worten:

    Wenn p eine Primel größer 3 ist, dann hat sie zwei Nachbarn, p-1 und p+1. Die sind beide gerade Zahlen, also durch 2 teilbar. Eine davon muß (!) auch durch 4 teilbar sein, weil jede 2. gerade Zahl durch 4 teilbar ist! Und zusätzlich muß eine der beiden auch durch 3 teilbar sein, weil ja jede dritte Zahle durch drei teilbar ist und p als Primzahl nicht durch 3 teilbar sein kann (weil p>3). Jetzt haben wir schon die Teiler 2, 4, und 3 beisammen. Miteinander multipliziert ergeben sie 24!!! Weitere Teiler multiplizieren sich als Variable n dazu!

    Wenn ich nun das Produkt aus (p+1).(p-1) bilde, erhalte ich p2 - 1, in Worten p-Quadrat minus 1. Das stellt sich nach Adam Riese so dar:

    p2-1 = 24.n ....................... (weil ja 24 - siehe oben - jedenfalls in (p+1).(p-1) enthalten sein muß)

    ---> p2 = 24n+1

    Alles klar?

  11. #11
    schreibt hier hin und wieder Avatar von WirbelFCM
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    AW: Mathematik - die verkannte Braut

    Klingt für mich auf jeden fall erstmal nachvollziehbar

  12. #12
    Mitgestalter
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    AW: Mathematik - die verkannte Braut

    Gestern war Pi-Tag. Also eigentlich find ich diese Tagesetikettierungen überflüssig, doch wenn schon, denn schon. Wir erinnern uns

    - Pi ist das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser
    - oder auch das Verhältnis von Kreisfläche zum Quadrat des Radius
    - Pi besitzt unendlich viele Kommastellen, nicht periodisch, ohne erkennbare Gesetzmäßigkeiten
    - Pi ist irrational und transzendent, vereinfacht gesagt, es gibt keine Formel für Pi mit ganzen Zahlen
    - Pi kann nur näherungsweise berechnet werden, Kommastelle um Kommastelle
    - verschiedene Rezept zur Berechnung von Pi existieren wie Reihen, Summenformeln oder über Winkelfunktionen
    - Pi steckt in vielen Objekten wie der eulerschen Zahl e, dem Goldenen Schnitt und anderen mathematischen Größen

    Pi ist nicht nur die Kreiszahl, sondern so was wie eine Weltzahl.

  13. #13
    schreibt hier hin und wieder Avatar von WirbelFCM
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    AW: Mathematik - die verkannte Braut

    Richtig, denn auch in der wahrscheinlichkeitsrechnung hat Pi eine enorme bedeutung! Zeichnest du bsp. auf ein blatt papier parallelen mit dem abstand der länge einer nadel und läßt diese nadel immer wieder auf das blatt fallen und zählst, wie oft die nadel eine der linien trifft und wie oft nicht, dann beträgt das verhältnis getroffen zu nicht getroffen Pi :)

    In Pi steht die telefonnummer jedes einzelnen menschen weltweit, jede SV Nummer usw.

    ersetzt du die zahlen in Pi durch buchstaben, so findest du in Pi die gesamte Lebensgeschichte jedes einzelnen menschen, der je über diesen planeten wandelte und wandeln wird und auch die zukunft jedes einzelnen Menschen steht in Pi geschrieben!

    soviel zum Thema, die Zukunft wäre nich nicht geschrieben. Doch, ist sie. Nämlich in Pi :)

    weitere witzige Anekdoten zu Pi findet man auch in „Das Geheimnis von Pi“ von Joaquin Navarro :)

  14. #14
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    AW: Mathematik - die verkannte Braut

    In Pi steht die telefonnummer jedes einzelnen menschen weltweit, jede SV Nummer usw.

    ersetzt du die zahlen in Pi durch buchstaben, so findest du in Pi die gesamte Lebensgeschichte jedes einzelnen menschen, der je über diesen planeten wandelte und wandeln wird und auch die zukunft jedes einzelnen Menschen steht in Pi geschrieben!
    Das stimmt auch, gilt aber für jede IRRATIONALE Zahl ..... weil jede dieser Zahlen unendlich viele Kommastellen ohne Perioden und andere Regelmäßigkeiten aufweist ....

  15. #15
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    AW: Mathematik - die verkannte Braut

    Konsequent weiter gedacht, gälte die oben genannte Vermutung - der Beweis wird schwierig - für den ganzen Kosmos und aller Information in ihm, also die Anordnung aller Atome, Subatomarteilchen, Energieverteilung, seine gesamte Historie und Entwicklung, die DNA jedes Lebewesens, meine Erinnerungen und die aller Menschen, alles überhaupt, was je existierte - all das wäre in den Nachkommastellen jeder beliebigen irrationalen Zahl abgebildet. Wahrlich irrational.

    Das ist die Crux mit der Unendlichkeit, dass sie kein Ende nimmt. Und dass man in sie alles hineinstopfen kann, was einem so in die blöde Birne hineindiffundiert. Also, ich weiß es nicht, ob diese Vermutung stimmt. Der Beweis wird kaum gelingen - seine Widerlegung aber ebenso. Bleibt wohl offen.

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